Extremal Sparse Polynomial Systems over Local Fields

Consider a system F of n polynomials in n variables, with a total of n + k distinct exponent vectors, over any local field L. We discuss conjecturally tight upper and lower bounds on the maximal number of non-degenerate roots F can have over L, with all coordinates having fixed sign or fixed first digit, as a function of n and k only. In particular, for non-Archimedean L, we give the first non-trivial lower bounds in the case k − 1 ≤ n; and for general L we give new explicit extremal systems for k=2 and n≥1. A key tool in our proofs is the construction of n triangles in R with Minkowski sum having maximally many mixed facets. Résumé. Nous considérons un système F de n polynômes en n variables, avec une total de n + k vecteurs exponents distincts, sur un corps local quelconque L. Nous discutons des bornes conjecturales, inférieures et supérieures, sur le nombre maximal de racines nondégénérées que F peut avoir dans Ln, avec un signe ou premier chiffre fixe, en fonction de n et k seulement. En particulier, nous donnons les premières bornes inférieures non-triviales pour le cas k − 1≤n (dans le cadre non-Archimédien) et de nouveaux systèmes extrémaux explicite pour k = 2 et n ≥ 1 (pour un champ local quelconque L). Sauf pour un peu infrastructures tropicales, les preuves sont complètement combinatoire.